Непрерывность сложной функции

Если: - $g(\mathbf{y}) = g(y_1, \ldots, y_m) \mathpunct{:} \mathbb{R}^m \supset E \to \mathbb{R}$ непрерывна в точке $\mathbf{y}^0 \in E$ - функции $f_1(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x}) \mathpunct{:} \mathbb{R}^s \supset D \to \mathbb{R}$ непрерывны в точке $\mathbf{x}^0 = (x_1^0, \ldots, x_s^0) \in D$ - $\mathbf{y}^0 = (f_1(\mathbf{x}^0), \ldots, f_m(\mathbf{x}^0))$ То сложная функция $h(\mathbf{x}) = g(f_1(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})) \mathpunct{:} \mathbb{R}^s \supset D \to \mathbb{R}$ непрерывна в точке $\mathbf{x}^{0}$.

По определению непрерывности $g(\mathbf{y})$ в точке $\mathbf{y}^0$: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\sigma(\varepsilon) > 0}~~ \forall{\mathbf{y} \in E}\mathpunct{:}~~ \rho(\mathbf{y}, \mathbf{y}^0) < \sigma(\varepsilon) \Rightarrow |g(\mathbf{y}) - g(\mathbf{y}^0)| < \varepsilon$$ Из непрерывности $f_1(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})$ в точке $\mathbf{x}^0$, для выбранного $\sigma(\varepsilon) > 0$: $$\exists{\delta(\sigma(\varepsilon)) = \delta_{\varepsilon} > 0}~~ \forall{\mathbf{x} \in D}\mathpunct{:}~~ \rho(\mathbf{x}, \mathbf{x}^0) < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |f_k(\mathbf{x}) - f_k(\mathbf{x}^0)| < \sigma(\varepsilon)$$ Это означает, что: $$\rho_{\infty}((f_1(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})), (f_1(\mathbf{x}^0), \ldots, f_m(\mathbf{x}^0))) = \max_k |f_k(\mathbf{x}) - f_k(\mathbf{x}^0)| < \sigma(\varepsilon)$$ Тогда, объединяя эти условия, получаем: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta_{\varepsilon} > 0}~~ \forall{\mathbf{x} \in D}\mathpunct{:}~~ \rho(\mathbf{x}, \mathbf{x}^0) < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |h(\mathbf{x}) - h(\mathbf{x}^0)| = |g(f_1(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})) - g(f_1(\mathbf{x}^0), \ldots, f_m(\mathbf{x}^0))| = |g(\mathbf{y}) - g(\mathbf{y}^0)| < \varepsilon$$ $\square$